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用骨牌学数学 加法、数量、奇偶性都能有趣学会

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发布于:2020-07-24
之前有跟大家分享过如何,现在要跟大家分享的是,如何用骨牌来带小朋友玩数学。我们使用的骨牌是如下方这样1x2的骨牌,上面都有两个不同的数字。

用骨牌学数学 加法、数量、奇偶性都能有趣学会

对较小的小朋友,可以用来练习加法:随机拿一块骨牌,请他把骨牌上的两个数字加起来;或者是拿一块骨牌,要他找出另一块上面两个数字和相同的骨牌。例如:一块骨牌上的数字是1和6,小朋友必须找出上面是2和5或者是3和4的骨牌。

对高年级或国中的学生,就可以问比较难的数量问题。如果骨牌上的数字是1到6,且每个数字一定会和其他每个数字配对出现在骨牌上,那总共有几张骨牌?如果一下子不知如何计算,可以先减少出现的数字,例如只拿有1到3或是1到4的骨牌来观察。我们先选定一个数字,例如1,它会和2到6这五个数字分别配对在五张骨牌上,所以六个数字会有6x5=30种组合。可是比如1和2以及2和1这两种配对其实是一样的,所以每种组合都被重複计算两次,骨牌数应该是30/2=15。

另外,我们可以利用些骨牌来学习奇偶性的概念。这些1x2的骨牌可以拼出不同的图形(图二)。不过我们发现,有些图形可以拼出来,有些则不行。因为一块骨牌有两格,如果骨牌不重叠,只有偶数格的图形可以以1x2的骨牌拼出,奇数则不行,这就是奇偶性的问题。不过,只要是偶数格的图形,就一定可以拚得出来吗?

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我们将下方8x8的西洋棋棋盘的右上及左下两格用铜板挡住(图三),剩下的格子请小朋友试试看,能否用1x2的骨牌铺满。我们发现,虽然少掉两个的棋盘格子数还是偶数(62格),但却没办法以骨牌铺满。为什幺?

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如果我们将图形以黑白交错的方式涂色,我们发现:无论骨牌怎幺摆放,它一定是佔了一个黑格跟一个白格。所以,如果图形能以1x2的骨牌铺满,其黑格和白格的数量必须相等。左边的棋盘铜板挡住的都是黑格,黑格比白格少两格,所以没办法用骨牌铺满。而右边的菱形黑白格数量相等,所以可以铺满。

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用拼图的方式取代数字,来学习奇偶性及不变量的观念,更能引起小朋友的兴趣。

接着,我们再看一个骨牌问题。拿18个骨牌,拼成一6x6的正方形,我们发现:无论怎幺拚,至少可以找到一条不会穿过任何骨牌的直线(下图铅笔指的地方)。

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这里排出两种不同的情形,大家可以让小朋友实际拿骨牌排排看,有没有可能正方形内部横竖各5条直线都有穿过骨牌?一定不可能。要怎幺解释这个现象呢?我们观察骨牌的排列,不是横放,就是直放。而横放的骨牌在同一列至少有两块,不可能只有一块。因为直放的一次佔两格,如果只有一块,正方形的边长是6,其余的5格不可能都以直放的骨牌拚满。所以如果正方形内部横竖各5条,共10条直线都有穿过骨牌,每条线至少会穿过两块骨牌,10条线至少会穿过20块骨牌。而总共只有18块骨牌,所以上述的情形是不可能的。

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上面的推论看起来有些複杂,但其实只是利用数学上的鸽笼原理(又称抽屉原理)。所谓鸽笼原理,简单的说,就是如果要把5只鸽子放进4个鸽笼,至少会有一个笼子里有两只以上的鸽子。另外的例子像是13个人其中一定会有两个人是同一月份生日、从一副52张的扑克牌抽5张,一定会有两张是同花色。看似複杂的题目,可以用简单的道理来解决,这就是数学有趣的地方。

作者简介用骨牌学数学 加法、数量、奇偶性都能有趣学会

台北医学大学医学士、92年度教育部生物科技管理学门公费留学奖学金
加州大学圣地牙哥分校(UCSD)管理硕士
加州大学圣地牙哥分校(UCSD)皮肤科研究员
加州圣地牙哥La Jolla Spa MD皮肤美容外科研究员
中华民国皮肤科专科医师、台湾皮肤科医学会会员、前长庚医院皮肤科主任

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